Я во время отпуска лежал в больнице и потом у меня начались отгулы продлится у меня отпуск во время отгулов.

Да, ежегодный отпуск продлевается в связи с болезнью работника.

ТК РФ, Статья 124. Продление или перенесение ежегодного оплачиваемого отпуска

""Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях:

""временной нетрудоспособности работника;