Обязана ли организация предлагать работникам получение зарплаты через открытые счета в банке, а можно ли дальше получать наличные?

Закон не запрещает этого.

Можете.

Трудовой кодекс Российской Федерации. Статья 136. Порядок, место и сроки выплаты заработной платы

К рубрикамК оглавлениюК главе 20

При выплате заработной платы работодатель обязан извещать в письменной форме каждого работника:

1) о составных частях заработной платы, причитающейся ему за соответствующий период;

2) о размерах иных сумм, начисленных работнику, в том числе денежной компенсации за нарушение работодателем установленного срока соответственно выплаты заработной платы, оплаты отпуска, выплат при увольнении и (или) других выплат, причитающихся работнику;

3) о размерах и об основаниях произведенных удержаний;

4) об общей денежной сумме, подлежащей выплате.

(часть первая в ред. Федерального закона от 23.04.2012 N 35-ФЗ)

Форма расчетного листка утверждается работодателем с учетом мнения представительного органа работников в порядке, установленном статьей 372 настоящего Кодекса для принятия локальных нормативных актов.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Заработная плата выплачивается работнику, как правило, в месте выполнения им работы либо переводится в кредитную организацию, указанную в заявлении работника, на условиях, определенных коллективным договором или трудовым договором. Работник вправе заменить кредитную организацию, в которую должна быть переведена заработная плата, сообщив в письменной форме работодателю об изменении реквизитов для перевода заработной платы не позднее чем за пять рабочих дней до дня выплаты заработной платы.