Возможно ли написать рапорт о признании на постоянное жилье после подписания первого контракта после 1 января 1998 года?

Судя по тексту - да.

Федеральный закон от 27.05.1998 N 76-ФЗ (ред. от 15.02.2016) "О статусе военнослужащих"

.

"

Статья 15. Право на жилище

Военнослужащим - гражданам, заключившим контракт о прохождении военной службы до 1 января 1998 года (за исключением курсантов военных профессиональных образовательных организаций и военных образовательных организаций высшего образования), и совместно проживающим с ними членам их семей, признанным нуждающимися в жилых помещениях, федеральным органом исполнительной власти, в котором федеральным законом предусмотрена военная служба, предоставляются субсидия для приобретения или строительства жилого помещения (далее - жилищная субсидия) либо жилые помещения, находящиеся в федеральной собственности, по выбору указанных граждан в собственность бесплатно или по договору социального найма с указанным федеральным органом исполнительной власти по месту военной службы, а при увольнении с военной службы по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе, по состоянию здоровья или в связи с организационно-штатными мероприятиями при общей продолжительности военной службы 10 лет и более - по избранному месту жительства в соответствии с нормами предоставления площади жилого помещения, предусмотренными статьей 15.1 настоящего Федерального закона".