Как обратиться с жалобой на некорректное поведение судьи и отвод в связи с пропуском срока

А это не основания для восстановления пропущенного срока. Есть юристы, которых можно нанять по договору и доверенность выписать. А ждать ответов из трудинспекции - это вообще нонсенс. Параллельно надо было делать. Практика судов такова, что, простите, если в реанимации без сознания не находился, то по другим причинам срок не восстанавливают.

Можете заявлять отвод, но вряд-ли суд его удовлетворит.

Вот основания для отвода: Статья 16. Основания для отвода судьи

[Гражданский процессуальный кодекс РФ] [Глава 2] [Статья 16]

1. Мировой судья, а также судья не может рассматривать дело и подлежит отводу, если он:

1) при предыдущем рассмотрении данного дела участвовал в нем в качестве прокурора, секретаря судебного заседания, представителя, свидетеля, эксперта, специалиста, переводчика;

2) является родственником или свойственником кого-либо из лиц, участвующих в деле, либо их представителей;

3) лично, прямо или косвенно заинтересован в исходе дела либо имеются иные обстоятельства, вызывающие сомнение в его объективности и беспристрастности.

2. В состав суда, рассматривающего дело, не могут входить лица, состоящие в родстве между собой.

3. Наличие информации о внепроцессуальном обращении, поступившем судье по гражданскому делу, находящемуся в его производстве, само по себе не может рассматриваться в качестве основания для отвода судьи.