Могу ли я встать на биржу труда в другом городе по месту жительства (снимаю квартиру), но с временной пропиской?

Нет, не можете.

п 2. Решение о признании гражданина, зарегистрированного в целях поиска подходящей работы, безработным принимается органами службы занятости по месту жительства гражданина не позднее 11 дней со дня предъявления органам службы занятости паспорта, трудовой книжки или документов, их заменяющих, документов, удостоверяющих его профессиональную квалификацию, справки о среднем заработке за последние три месяца по последнему месту работы, а для впервые ищущих работу (ранее не работавших), не имеющих профессии (специальности) - паспорта и документа об образовании.

Положение пункта 2 настоящей статьи, предусматривающее регистрацию гражданина в качестве безработного по месту жительства - как направленное на обеспечение организационных и иных условий социальной защиты безработных в различных формах, включая поиск подходящей работы, в том числе с учетом места жительства гражданина, а также имеющее целью предотвращение возможных злоупотреблений правом и, соответственно, защиту прав и законных интересов иных граждан от неправомерного расходования средств на выплату пособий по безработице за счет уплачиваемых ими налогов - не может рассматриваться как нарушающее конституционное право на защиту от безработицы и ограничивающее государственные гарантии занятости граждан, предоставляемые в рамках реализации конституционных прав - определение Конституционного Суда Российской Федерации от 6 февраля 2003 года N 105-О.