Может ли абхазец, живет в Абхазии, но имеет паспорт гражданина РФ, рассчитывать на пенсию от России, и, если "да", то "на" какую?

Да может:

Перевод пенсии за пределы РФ производится с месяца, следующего за месяцем выезда гражданина за пределы РФ, но не ранее чем со дня, до которого выплачена пенсия в российских рублях, с учетом выплаты пенсии за шесть месяцев вперед перед выездом, с соблюдением норм законодательства РФ о порядке выплаты пенсий, не полученных пенсионером своевременно. Перерасчет, индексация и корректировка пенсии, переводимой за границу, производится в общем порядке. В начале каждого года пенсионер обязан представлять в Пенсионный Фонд РФ документ, подтверждающий его нахождение в живых на 31 декабря. Данный документ выдается дипломатическим представительством или консульским учреждением РФ за границей, нотариусом на территории РФ либо компетентным органом или должностным лицом иностранного государства. Если указанный документ не будет представлен, выплата пенсии приостанавливается и возобновляется после получения очередного документа, подтверждающего, что гражданин жив. Для выплаты пенсий, назначенных на нетрудоспособных граждан: детей, братьев, сестер и внуков, не достигших 18 лет, или на граждан, признанных судом недееспособными, получателями которых являются их законные представители, документ, подтверждающий факт нахождения в живых, представляется как на получателя пенсии, так и на самого пенсионера.

Пенсия перечисляется на личный счет пенсионера в банке иностранного государства, который будет им указан, в иностранной валюте по курсу рубля, установленному Центральным банком РФ на день совершения операции.

Порядок выплаты трудовых пенсий лицам, выезжающим или выехавшим на постоянное жительство за пределы РФ, устанавливается Правительством РФ.

Порядок выплаты сумм трудовых пенсий гражданам при их возвращении на постоянное место жительства в РФ, не полученные ими за время их проживания за пределами территории РФ, выплачиваются за прошедшее время, но не более чем за три года, предшествующие дню обращения за получением указанной пенсии.

В данном случае речь идет о гражданах, которые, выезжая на постоянное место жительства за пределы РФ, не использовали право получения пенсии на территории РФ либо перевода пенсии за границу по месту жительства.

В соответствии с п. 27 Положения о порядке выплаты пенсий гражданам, выезжающим (выехавшим) на постоянное место жительства за пределы РФ, выплата гражданину пенсии, не полученной им за прошедшее время, производится органом, осуществляющим пенсионное обеспечение гражданина на территории РФ. Выплата производится на основании данных о невыплаченных суммах пенсии, соответствующего заявления гражданина и паспорта гражданина РФ с отметкой о регистрации по месту жительства на территории РФ. Иностранными гражданами и лицами без гражданства представляется вид на жительство с отметкой о регистрации на территории РФ.