Отказ от родителя - как помочь ребенку решиться на этот шаг, если мать долгое время не обеспечивала его?

Вы можете лишить ее родительских прав по ст. 69 СК РФ Для этого вам нужно обратиться с соответствующим заявлением в суд.

Статья 69. Лишение родительских прав

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, воспитательного учреждения, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;

(в ред. Федеральных законов от 24.04.2008 N 49-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ, от 28.11.2015 N 358-ФЗ)

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

Отказ от ребенка или родителя законом просто не предусмотрен. В данном случае Вам как отцу ребенка нужно подать иск в суд о лишении родительских прав матери, но первоначально рекомендую обратиться в опеку и ПДН.

Готова предложить Вам свою помощь, в разрешении данного вопроса.