Парень подписал контракт, отслужил три месяца. Заболел пневмонией, решил после госпиталя приехать домой. Могут ли его посадить?

Если он это сделал без разрешения командования части, то конечно может быть применена уголовная ответственность:

Уголовный кодекс Российской Федерации. Статья 337. Самовольное оставление части или места службы

1. Самовольное оставление части или места службы, а равно неявка в срок без уважительных причин на службу при увольнении из части, при назначении, переводе, из командировки, отпуска или медицинской организации продолжительностью свыше двух суток, но не более десяти суток, совершенные военнослужащим, проходящим военную службу по призыву, -

(в ред. Федерального закона от 25.11.2013 N 317-ФЗ)

наказываются арестом на срок до шести месяцев или содержанием в дисциплинарной воинской части на срок до одного года.

2. Те же деяния, совершенные военнослужащим, отбывающим наказание в дисциплинарной воинской части, -

наказываются лишением свободы на срок до двух лет.

3. Самовольное оставление части или места службы, а равно неявка в срок без уважительных причин на службу продолжительностью свыше десяти суток, но не более одного месяца, совершенные военнослужащим, проходящим военную службу по призыву или по контракту, -

наказываются ограничением по военной службе на срок до двух лет, либо содержанием в дисциплинарной воинской части на срок до двух лет, либо лишением свободы на срок до трех лет.

4. Деяния, предусмотренные частью третьей настоящей статьи, продолжительностью свыше одного месяца -

наказываются лишением свободы на срок до пяти лет.

Примечание. Военнослужащий, впервые совершивший деяния, предусмотренные настоящей статьей, может быть освобожден от уголовной ответственности, если самовольное оставление части явилось следствием стечения тяжелых обстоятельств.