Либо есть какая нибудь программа о помощи и вообще как мне поступить?

Дело в том, что оплачивать необходимо не суду, а непосредственно Экспертному учреждению, поэтому, к сожалению Вы не можете даже воспользоваться ходатайством об отсрочке, так как проведение данной экспертизы не относится к судебным расходам. Из средств материнского капитала провести данную экспертизы невозможно. Если Вы уверенны в том, что ребенок действительно от этого мужчины, то вероятность высока, что экспертиза даст положительный результат и по Вашему ходатайству Вы сможете взыскать с ответчика денежную сумму за проведенную экспертизу, проезд (при предоставлении чеков).