Какие права есть у него или у меня?

Отвечаю по порядку. И в первую очередь хочется ответить на вопрос, который Вы не задали. Постараюсь дать максимально возможное количество ссылок на закон, чтобы не дать Вам повод упрекнуть меня в субъективности либо непонимании Ваших проблем. Итак.

1. Ст.55 Семейного кодекса РФ Право ребенка на общение с родителями и другими родственниками гласит

1. Ребенок имеет право на общение с обоими родителями, дедушкой, бабушкой, братьями, сестрами и другими родственниками. Расторжение брака родителей, признание его недействительным или раздельное проживание родителей не влияют на права ребенка.

В случае раздельного проживания родителей ребенок имеет право на общение с каждым из них. Ребенок имеет право на общение со своими родителями также в случае их проживания в разных государствах.

Таким образом, Вы не вправе препятствовать ему видеться с отцом. Это неправильно и с правовой и с общепринятой точки зрения. Ребенок имеет право знать отца, имеет право с ним встречаться и поддерживать отношения. С психологической точки зрения общение ребенка с отцом крайне важно для становления личности ребенка. Ну и как педагог по образованию (с приличным, кстати, стажем) еще раз хочу Вам сказать? ребенок должен знать и любить обоих родителей. Дети из неполных семей всегда находятся в группе риска. Как юрист скажу Вам, что Вы не вправе делать ребенка заложников Ваших отношений с его отцом.

2.В соответствии со ст. 49. СК Установление отцовства в судебном порядке

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Вот в судебном заседании можете изложить Ваши аргументы против установления отцовства. Если оно будет установлено, можно будет в судебном порядке добиваться лишения родительских прав, если у Вас есть на то основания.

3. В том случае, если отцовство будет установлено, а основания лишать отца родительских прав отсутствуют, то, читая СК, мы с Вами должны придти к следующему:

Статья 61. Равенство прав и обязанностей родителей

1. Родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей (родительские права).

Статья 63. Права и обязанности родителей по воспитанию и образованию детей

1. Родители имеют право и обязаны воспитывать своих детей.

Родители имеют преимущественное право на воспитание своих детей перед всеми другими лицами.

Т.е., отец ребенка имеет равные с Вами права.

и 4. Так ли это плохо, что отец наконец захотел реализовать свои родительские права? Я могу понять, что Вы можете чувствовать себя оскорбленной, обиженной этим человеком. Я ровным счетом ничего не знаю о Ваших с ним отношениях. Просто подумайте о ребенке. Ему необходима полная семья. Ради ребенка сильный человек (а для ребенка родители обязаны хотя бы выглядеть сильными людьми) может и должен переступить через свои обиды.

Удачи Вам и Вашему ребенку. Не ошибитесь - это очень важно.