Влияет ли суд об определении порядка общения с внуком на возможность истца заявить ограничение или лишение родительских прав?

Только при наличии оснований, установленных законом:

СК РФ, Статья 69. Лишение родительских прав

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;

(в ред. Федеральных законов от 24.04.2008 N 49-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ, от 28.11.2015 N 358-ФЗ, от 28.03.2017 N 39-ФЗ)

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

СК РФ, Статья 73. Ограничение родительских прав

1. Суд может с учетом интересов ребенка принять решение об отобрании ребенка у родителей (одного из них) без лишения их родительских прав (ограничении родительских прав).

2. Ограничение родительских прав допускается, если оставление ребенка с родителями (одним из них) опасно для ребенка по обстоятельствам, от родителей (одного из них) не зависящим (психическое расстройство или иное хроническое заболевание, стечение тяжелых обстоятельств и другие).

Ограничение родительских прав допускается также в случаях, если оставление ребенка с родителями (одним из них) вследствие их поведения является опасным для ребенка, но не установлены достаточные основания для лишения родителей (одного из них) родительских прав. Если родители (один из них) не изменят своего поведения, орган опеки и попечительства по истечении шести месяцев после вынесения судом решения об ограничении родительских прав обязан предъявить иск о лишении родительских прав. В интересах ребенка орган опеки и попечительства вправе предъявить иск о лишении родителей (одного из них) родительских прав до истечения этого срока.

3. Иск об ограничении родительских прав может быть предъявлен близкими родственниками ребенка, органами и организациями, на которые законом возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей (пункт 1 статьи 70 настоящего Кодекса), дошкольными образовательными организациями, общеобразовательными организациями и другими организациями, а также прокурором.

(в ред. Федеральных законов от 24.04.2008 N 49-ФЗ, от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

4. Дела об ограничении родительских прав рассматриваются с участием прокурора и органа опеки и попечительства.

5. При рассмотрении дела об ограничении родительских прав суд решает вопрос о взыскании алиментов на ребенка с родителей (одного из них).

6. Суд обязан в течение трех дней со дня вступления в законную силу решения суда об ограничении родительских прав направить выписку из такого решения суда в орган записи актов гражданского состояния по месту государственной регистрации рождения ребенка.

Вы - бабушка, а не один из родителей ребенка. Суд не будет рассматривать этот вопрос. Это совершенно другие требования и иски. И исходить не от Вас должны.

Статья 73 СК РФ. Ограничение родительских прав

1. Суд может с учетом интересов ребенка принять решение об отобрании ребенка у родителей (одного из них) без лишения их родительских прав (ограничении родительских прав). 2. Ограничение родительских прав допускается, если оставление ребенка с родителями (одним из них) опасно для ребенка по обстоятельствам, от родителей (одного из них) не зависящим (психическое расстройство или иное хроническое заболевание, стечение тяжелых обстоятельств и другие). Ограничение родительских прав допускается также в случаях, если оставление ребенка с родителями (одним из них) вследствие их поведения является опасным для ребенка, но не установлены достаточные основания для лишения родителей (одного из них) родительских прав. Если родители (один из них) не изменят своего поведения, орган опеки и попечительства по истечении шести месяцев после вынесения судом решения об ограничении родительских прав обязан предъявить иск о лишении родительских прав. В интересах ребенка орган опеки и попечительства вправе предъявить иск о лишении родителей (одного из них) родительских прав до истечения этого срока. 3. Иск об ограничении родительских прав может быть предъявлен близкими родственниками ребенка, органами и организациями, на которые законом возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей (пункт 1 статьи 70 настоящего Кодекса), дошкольными образовательными организациями, общеобразовательными организациями и другими организациями, а также прокурором. (в ред. Федеральных законов от 24.04.2008 N 49-ФЗ, от 02.07.2013 N 185-ФЗ) 4. Дела об ограничении родительских прав рассматриваются с участием прокурора и органа опеки и попечительства