Как влияет на воинский призыв ситуация с матерью-инвалидом и безработицей, если я единственный кормилец?

Смогут. Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 03.04.2017) "О воинской обязанности и военной службе", ст. 54-55 позволяет это сделать. В вашем случае нет исключения.

В соответствии со статьей 55 Федерального закона «О воинской обязанности и военной службе» от военных сборов освобождаются:

1) граждане женского пола.

2) граждане, забронированные за органами государственной власти, органами местного самоуправления и организациями на период мобилизации и в военное время;

3)сотрудники органов внутренних дел, Государственной противопожарной службы, учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ и таможенных органов Российской Федерации;

4)гражданский персонал Вооруженных Сил Российской Федерации, других войск, воинских формирований и органов, а также органов внутренних дел, Государственной противопожарной службы, учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ и таможенных органов Российской Федерации;

5)летно-технический состав, а также рабочие и служащие авиационного и железнодорожного транспорта, непосредственно осуществляющие и обеспечивающие перевозки или занятые обслуживанием и ремонтом самолетов (вертолетов), аэродромной техники, подвижного состава и устройств железнодорожного транспорта;

6)плавающий состав судов морского флота, а также плавающий состав речного флота и флота рыбной промышленности - в период навигации;

7)граждане, непосредственно занятые на посевных и уборочных работах, - в период проведения таких работ;

8)граждане, являющиеся педагогическими работниками образовательных организаций;

граждане, обучающиеся по очной или очно-заочной форме обучения в образовательных организациях;

9)граждане, обучающиеся по заочной форме обучения в образовательных организациях, - на период прохождения промежуточной и итоговой аттестации, подготовки дипломной работы;

10)граждане, уволенные с военной службы, - в течение двух лет со дня увольнения в запас;

11)граждане, имеющие трех и более несовершеннолетних детей;

12)граждане, имеющие основания для отсрочки от призыва на военную службу;

13)граждане, пребывающие за пределами Российской Федерации;

14)члены Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации, высшие должностные лица субъектов Российской Федерации (руководители высших исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации), граждане, временно исполняющие обязанности высшего должностного лица субъекта Российской Федерации (руководителя высшего исполнительного органа государственной власти субъекта Российской Федерации);

15)граждане, представленные в установленном порядке законодательным (представительным) органам государственной власти субъектов Российской Федерации в качестве кандидатур высших должностных лиц субъектов Российской Федерации (руководителей высших исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации), - до принятия решения об отклонении представленной кандидатуры или о наделении ее полномочиями высшего должностного лица субъекта Российской Федерации (руководителя высшего исполнительного органа государственной власти субъекта Российской Федерации);

граждане, прошедшие альтернативную гражданскую службу.

Вас в этом списке нет, увы.

Не смогут. Ст.55 Закона о воинской обязанности

м) граждане, имеющие основания для отсрочки от призыва на военную службу, предусмотренные подпунктами "а", "б", "б.1", "в", "и", "к" и "л" пункта 1 и пунктом 2 статьи 24 настоящего Федерального закона;

(в ред. Федеральных законов от 19.06.2004 N 53-ФЗ, от 06.07.2006 N 104-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Ваш случай предусмотрен подпунктом б пункта 1 ст.24, к которому отсылает пункт М ст.55