Возможно ли оспорить перевод на равнозначную должность в другой город, учитывая нужды заботы о бабушке жены?

Разумеется вы можете отказаться от такого перевода, перевод без согласия вообще не допустим, потому конечно можете оспорить перевод без согласия.

А если патронаж будет оформлен на жену? И родственники жены не становятся моими родственниками и в связи с этим не подпадает под основание последний пункт?

В соответствии с пунктом 2 статьи 15 "Положения о порядке прохождения военной службы", утверждённого Указом Президента Российской Федерации от 16 сентября 1999 года № 1237 "Вопросы прохождения военной службы", военнослужащий, проходящий военную службу по контракту, может быть переведен к новому месту военной службы по служебной необходимости с назначением на равную воинскую должность.

Перевод данного военнослужащего к новому месту военной службы с назначением на равную воинскую должность производится без его согласия, за исключением следующих случаев:

при невозможности прохождения военной службы в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

при невозможности проживания членов семьи военнослужащего (жена, муж, дети в возрасте до 18 лет, дети-учащиеся в возрасте до 23 лет, дети-инвалиды, а также иные лица, состоящие на иждивении военнослужащего и проживающие совместно с ним) в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

при необходимости постоянного ухода за проживающими отдельно отцом, матерью, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, не находящимися на полном государственном обеспечении и нуждающимися в соответствии с заключением органа государственной службы медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).