Хочу подать на алименты и установление отцовства... могут ли это сделать в судебном порядке?

Заявление Вы можете написать и самостоятельно основываясь на положениях ст. 131-132 ГПК РФ.

Стоимость экспертизы ДНК возможно около 30 000.

Взыскать расходы сможете в будущем с ответчика.

Да, экспертиза дорогостоящая, однако Вы сможете взыскать судебные расходы с ответчика

Гражданский процессуальный кодекс, N 138-ФЗ | ст 98 ГПК РФ

Статья 98. Распределение судебных расходов между сторонами

[Гражданский процессуальный кодекс РФ] [Глава 7] [Статья 98]

1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 настоящего Кодекса. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.

2. Правила, изложенные в части первой настоящей статьи, относятся также к распределению судебных расходов, понесенных сторонами в связи с ведением дела в апелляционной, кассационной и надзорной инстанциях.

3. В случае, если суд вышестоящей инстанции, не передавая дело на новое рассмотрение, изменит состоявшееся решение суда нижестоящей инстанции или примет новое решение, он соответственно изменяет распределение судебных расходов. Если в этих случаях суд вышестоящей инстанции не изменил решение суда в части распределения судебных расходов, этот вопрос должен решить суд первой инстанции по заявлению заинтересованного лица.

В случае удовлетворения иска стоимость ДНК суд присудит возместить Вам, как судебные расходы, а также стоимость услуг адвоката.