Проблема с оформлением командировки в школе - что делать в такой ситуации?

Добрый день! В данном случае все таки лучше Вам написать за свой счет, если Вы действительно не были на рабочем месте после отпуска, то есть вероятность увольнения за прогулы, поэтому если предлагают просто за свой счет написать, то лучше согласиться, чем потом что-то доказывать.

Но еще не понятно, что за сопровождение, если оно было именно от школы, то это уже другой вопрос.

Вы хотя бы написали нам что Вы называете "льготным отпуском". Как правило льготным называют ежегодный оплачиваемый отпуск, в котором оплачивается проезд к месту отдыха и обратно (работающим в РКС и местности, приравненной к РКС). Что Вы называете 10-дневным льготным отпуском непонятно.

За прогулы Вас увольнять не собираются, предложили взять задним числом отпуск без сохранения зарплаты (ст.128 ТК РФ), приемлемый выход из положения.

Сопровождающей вы были по своему желанию, а не направлению работодателю, поэтому командировку, тем более "задним числом", оформлять не обязаны. Поэтому пишите заявление на отпуск без содержания, в противном случае

ТК РФ, Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);