Власти ли матери определить, с кем будет видеться ребенок, рожденный вне брака, в случае наличия записи об отце?

В Вашем случае надо вести речь не о запрете видеться, а об установлении порядка общения - в присутствии матери.

Согласно ст. 66 СК РФ, родитель, проживающий отдельно от ребенка, имеет права на общение с ребенком, участие в его воспитании и решение вопросов получения ребенком образования. Родитель, с которым проживает ребенок, не должен препятствовать общению ребенка с другим родителем, если такое общение не причиняет вред физическому и психическому здоровью ребенка, его нравственному развитию. Родители вправе заключить в письменной форме соглашение о порядке осуществления родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка. Если родители не могут прийти к соглашению, спор разрешается судом с участием органа опеки и попечительства по требованию родителей (одного из них).

При определении порядка общения родителя с ребенком принимаются во внимание возраст ребенка, состояние его здоровья, привязанность к каждому из родителей и другие обстоятельства, способные оказать воздействие на физическое и психическое здоровье ребенка, на его нравственное развитие.

Исходя из права родителя, проживающего отдельно от ребенка, на общение с ним, а также из необходимости защиты прав и интересов несовершеннолетнего при общении с этим родителем, суд с учетом обстоятельств каждого конкретного дела определяет порядок такого общения (время, место, продолжительность общения и т.п.), изложив его в резолютивной части решения.

В исключительных случаях, когда общение ребенка с отдельно проживающим родителем может нанести вред ребенку, суд, исходя из п. 1 ст. 65 СК РФ, не допускающего осуществление родительских прав в ущерб физическому и психическому здоровью детей и их нравственному развитию, вправе отказать этому родителю в удовлетворении иска об определении порядка его участия в воспитании ребенка, изложив мотивы принятого решения.

Аналогично должно разрешаться и требование об устранении препятствий родителям, не лишенным родительских прав, в воспитании детей, находящихся у других лиц на основании закона или решения.

(п. 8 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 27 мая 1998 г. N 10 «О применении судами законодательства при разрешении споров, связанных с воспитанием детей (в ред. Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 06.02.2007 N 6)

При невыполнении решения суда к виновному родителю применяются меры, предусмотренные гражданским процессуальным законодательством. При злостном невыполнении решения суда суд по требованию родителя, проживающего отдельно от ребенка, может вынести решение о передаче ему ребенка исходя из интересов ребенка и с учетом мнения ребенка. (п. 3 ст. 66 СК РФ).

Так как вопрос решается в судебном порядке - надо составить исковое заявление, подать его в суд по подсудности, определиться с доказательствами, в дальнейшем ходить на судебные заседания, отстаивать свою позицию.

Вы должны определиться с предполагаемым графиком будущего общения ребёнка отдельно живущим родителем.

Лучше всего вести процесс с помощью специалиста.