Можно ли получить пенсию по старости без прописки в Якутске, работая на севере?

Нельзя сказать однознчно. Теоретически - можно.

Правила

обращения за страховой пенсией, фиксированной выплатой к страховой пенсии с учетом повышения фиксированной выплаты к страховой пенсии, накопительной пенсией, в том числе работодателей, и пенсией по государственному пенсионному обеспечению, их назначения, установления, перерасчета, корректировки их размера, в том числе лицам, не имеющим постоянного места жительства на территории Российской Федерации, проведения проверок документов, необходимых для их установления, перевода с одного вида пенсии на другой в соответствии с федеральными законами "О страховых пенсиях", "О накопительной пенсии" и "О государственном пенсионном обеспечении в Российской Федерации"

4. Граждане подают заявление о назначении пенсии непосредственно в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации по месту жительства.

Заявление о назначении пенсии может быть направлено в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации по почте.

Заявление о назначении пенсии может быть подано в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации через многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг по месту жительства гражданина, в том числе с учетом места подачи указанного заявления отдельными категориями граждан в соответствии с пунктами 5 - 7, 9, 11, 12, 15 настоящих Правил, в случае, если между территориальным органом Пенсионного фонда Российской Федерации и многофункциональным центром предоставления государственных и муниципальных услуг заключено соглашение о взаимодействии и подача указанного заявления предусмотрена перечнем государственных и муниципальных услуг, предоставляемых в многофункциональном центре, установленным соглашением.

Заявление о назначении пенсии может быть представлено в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации в форме электронного документа, порядок оформления которого установлен законодательством Российской Федерации (далее - в форме электронного документа), и которое передается с использованием информационно-телекоммуникационных сетей общего пользования, в том числе информационно-телекоммуникационной сети "Интернет", включая федеральную государственную информационную систему "Единый портал государственных и муниципальных услуг (функций)" и информационную систему Пенсионного фонда Российской Федерации "Личный кабинет застрахованного лица".

5. Граждане, не имеющие подтвержденного регистрацией места жительства на территории Российской Федерации, подают заявление о назначении пенсии в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации по своему месту пребывания на территории Российской Федерации.

6. Граждане, не имеющие подтвержденного регистрацией места жительства и места пребывания на территории Российской Федерации, подают заявление о назначении пенсии в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации по месту своего фактического проживания.

Получать - сможете, если по месту жительства будет северный коэффициент.