Каков срок освобождения квартиры при продаже и покупке другого жилья через органы опеки?

Законом это не предусмотрено. Нужно решать с органом опеки. Вам нужно получить предварительное согласие опеки.

Федеральный закон от 24.04.2008 N 48-ФЗ (ред. от 29.07.2017) "Об опеке и попечительстве"

Статья 21. Предварительное разрешение органа опеки и попечительства, затрагивающее осуществление имущественных прав подопечного

1. Опекун без предварительного разрешения органа опеки и попечительства не вправе совершать, а попечитель не вправе давать согласие на совершение сделок по сдаче имущества подопечного внаем, в аренду, в безвозмездное пользование или в залог, по отчуждению имущества подопечного (в том числе по обмену или дарению), совершение сделок, влекущих за собой отказ от принадлежащих подопечному прав, раздел его имущества или выдел из него долей, и на совершение любых других сделок, влекущих за собой уменьшение стоимости имущества подопечного. Предварительное разрешение органа опеки и попечительства требуется также во всех иных случаях, если действия опекуна или попечителя могут повлечь за собой уменьшение стоимости имущества подопечного, в том числе при:

1) отказе от иска, поданного в интересах подопечного;

2) заключении в судебном разбирательстве мирового соглашения от имени подопечного;

3) заключении мирового соглашения с должником по исполнительному производству, в котором подопечный является взыскателем.

2. Предварительное разрешение органа опеки и попечительства требуется в случаях выдачи доверенности от имени подопечного.

3. Предварительное разрешение органа опеки и попечительства, предусмотренное частями 1 и 2 настоящей статьи, или отказ в выдаче такого разрешения должны быть предоставлены опекуну или попечителю в письменной форме не позднее чем через пятнадцать дней с даты подачи заявления о предоставлении такого разрешения. Отказ органа опеки и попечительства в выдаче такого разрешения должен быть мотивирован. Предварительное разрешение, выданное органом опеки и попечительства, или отказ в выдаче такого разрешения могут быть оспорены в судебном порядке опекуном или попечителем, иными заинтересованными лицами, а также прокурором.

4. При обнаружении факта заключения договора от имени подопечного без предварительного разрешения органа опеки и попечительства последний обязан незамедлительно обратиться от имени подопечного в суд с требованием о расторжении такого договора в соответствии с гражданским законодательством, за исключением случая, если такой договор заключен к выгоде подопечного. При расторжении такого договора имущество, принадлежавшее подопечному, подлежит возврату, а убытки, причиненные сторонам договора, подлежат возмещению опекуном или попечителем в размере и в порядке, которые установлены гражданским законодательством.

5. Правила, установленные частью 3 настоящей статьи, применяются также к выдаче органом опеки и попечительства согласия на отчуждение жилого помещения в случаях, предусмотренных пунктом 4 статьи 292 Гражданского кодекса Российской Федерации.