Может ли педагог со стажем 35 лет получить звание Ветеран труда на основании почетной грамоты из 1989 года?

Да, можете.

Федеральный закон от 12.01.1995 N 5-ФЗ (ред. от 19.12.2016) "О ветеранах"

Статья 7. Ветераны труда

1. Ветеранами труда являются лица:

1) имеющие удостоверение "Ветеран труда";

КонсультантПлюс: примечание.

За гражданами, которые по состоянию на 30 июня 2016 года награждены ведомственными знаками отличия в труде, сохраняется право на присвоение звания "Ветеран труда" при наличии трудового (страхового) стажа, учитываемого для назначения пенсии, не менее 25 лет для мужчин и 20 лет для женщин или выслуги лет, необходимой для назначения пенсии за выслугу лет в календарном исчислении (Федеральный закон от 29.12.2015 N 388-ФЗ).

2) награжденные орденами или медалями СССР или Российской Федерации, либо удостоенные почетных званий СССР или Российской Федерации, либо награжденные почетными грамотами Президента Российской Федерации или удостоенные благодарности Президента Российской Федерации, либо награжденные ведомственными знаками отличия за заслуги в труде (службе) и продолжительную работу (службу) не менее 15 лет в соответствующей сфере деятельности (отрасли экономики) и имеющие трудовой (страховой) стаж, учитываемый для назначения пенсии, не менее 25 лет для мужчин и 20 лет для женщин или выслугу лет, необходимую для назначения пенсии за выслугу лет в календарном исчислении; лица, начавшие трудовую деятельность в несовершеннолетнем возрасте в период Великой Отечественной войны и имеющие трудовой (страховой) стаж не менее 40 лет для мужчин и 35 лет для женщин.