Сможет ли мать новорождённого получать пособие по уходу за ребёнком, если не официально работала, и единственным кормильцем в семье является отец ребёнка?

Сможет. Просто выплата на первого ребенка - одна, просто при определенных обстоятельствах она по одному закону, при других - по другому.

Федеральный закон от 28.12.2017 N 418-ФЗ "О ежемесячных выплатах семьям, имеющим детей"

Статья 1

1. Установить, что право на получение ежемесячной выплаты в связи с рождением (усыновлением) первого ребенка и (или) ежемесячной выплаты в связи с рождением (усыновлением) второго ребенка (далее также - ежемесячная выплата в связи с рождением (усыновлением) первого или второго ребенка) имеют граждане Российской Федерации, постоянно проживающие на территории Российской Федерации.

2. Право на получение ежемесячной выплаты в связи с рождением (усыновлением) первого или второго ребенка возникает в случае, если ребенок рожден (усыновлен) начиная с 1 января 2018 года, является гражданином Российской Федерации и если размер среднедушевого дохода семьи не превышает 1,5-кратную величину прожиточного минимума трудоспособного населения, установленную в субъекте Российской Федерации в соответствии с пунктом 2 статьи 4 Федерального закона от 24 октября 1997 года N 134-ФЗ "О прожиточном минимуме в Российской Федерации" за второй квартал года, предшествующего году обращения за назначением указанной выплаты.