Отсутствие трудовой книжки - можно ли отказывать в постановке на учет в Центре Занятости и как решить данную ситуацию?

Если представлены все документы - не имеет, конечно.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 07.03.2018) "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 3. Порядок и условия признания граждан безработными

1. Безработными признаются трудоспособные граждане, которые не имеют работы и заработка, зарегистрированы в органах службы занятости в целях поиска подходящей работы, ищут работу и готовы приступить к ней. При этом в качестве заработка не учитываются выплаты выходного пособия и сохраняемого среднего заработка гражданам, уволенным в связи с ликвидацией организации либо прекращением деятельности индивидуальным предпринимателем, сокращением численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя.

(в ред. Федеральных законов от 30.04.1999 N 85-ФЗ, от 10.01.2003 N 8-ФЗ, от 27.12.2009 N 367-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Порядок регистрации безработных граждан, порядок регистрации граждан в целях поиска подходящей работы и требования к подбору подходящей работы устанавливаются Правительством Российской Федерации.

(в ред. Федерального закона от 30.11.2011 N 361-ФЗ)

2. Решение о признании гражданина, зарегистрированного в целях поиска подходящей работы, безработным принимается органами службы занятости по месту жительства гражданина не позднее 11 дней со дня предъявления органам службы занятости паспорта, трудовой книжки или документов, их заменяющих, документов, удостоверяющих его квалификацию, справки о среднем заработке за последние три месяца по последнему месту работы, а для впервые ищущих работу (ранее не работавших), не имеющих квалификации - паспорта и документа об образовании и (или) о квалификации.

При невозможности предоставления органами службы занятости подходящей работы гражданам в течение 10 дней со дня их регистрации в целях поиска подходящей работы эти граждане признаются безработными с первого дня предъявления указанных документов.