Можно ли ездить на авто с украинской регистрацией по России, если машина оформлена на украинскую гражданку?

Нет. Не можете. Она его временно ввезла, она должна и пользоваться этим авто. А не Вы.

Статья 264 ТК ЕАЭС - Временный ввоз транспортных средств для личного пользования

1. Допускается временный ввоз на таможенную территорию Союза иностранными физическими лицами транспортных средств для личного пользования, зарегистрированных в государстве, не являющемся членом Союза, на срок не более 1 года.

Допускается временный ввоз на таможенную территорию Союза иностранными физическими лицами, указанными в пункте 2 статьи 259 настоящего Кодекса, транспортных средств для личного пользования, не зарегистрированных в государствах-членах и в государстве, не являющемся членом Союза, на срок не более 1 года.

Допускается временный ввоз на таможенную территорию Союза физическими лицами государств-членов транспортных средств для личного пользования, зарегистрированных в государстве, не являющемся членом Союза, на срок не более 1 года.

Чтобы пользоваться Вам надо растаможить.

Увы нет. Авто находится под режимом временного ввоза согласно ст.219 Таможенного кодекса Евразийского экономического союза (приложение N 1 к Договору о Таможенном кодексе Евразийского экономического союза от 11 апреля 2017 г.) и ездить на нем может только декларант, т.е. тот, кто его ввез: согласно ст.222 Таможенного кодекса Евразийского экономического союза

2. Временно ввезенные товары должны находиться в фактическом владении и пользовании декларанта, за исключением случаев, когда допускается их передача во владение и пользование иным лицам в соответствии с пунктами 3 и 4 настоящей статьи.

3. Допускается передача декларантом во владение и пользование иным лицам без разрешения таможенного органа:

1) временно ввезенной многооборотной (возвратной) тары, предназначенной для упаковки и защиты товаров, ввезенных на таможенную территорию Союза;

2) временно ввезенных товаров в целях их технического обслуживания, ремонта (за исключением капитального ремонта, модернизации), хранения, перевозки (транспортировки);

3) временно ввезенных товаров в целях проведения испытаний, исследований, тестирования, проверки, опытов или экспериментов;

4) временно ввезенных товаров в иных целях в случаях, определяемых Комиссией и (или) предусмотренных международными договорами государств-членов с третьей стороной.

4. В иных случаях, чем установленные пунктом 3 настоящей статьи, передача декларантом временно ввезенных товаров во владение и пользование иным лицам допускается с разрешения таможенного органа либо в случаях, в порядке и сроки, которые определяются Комиссией, - после уведомления таможенного органа.