Как запросить копии документов о постановке на учет транспортного средства, если оно было зарегистрировано незаконным путем?

На такой запрос никто Вам не даст ответ. Пишите заявление в полицию. Документы могут истребовать в рамках проводимой проверки (ст. 144 УПК РФ)

Так Вы еще и не являетесь собственником? В такой ситуации никто Вам на запрос не ответит. Не путайте понятия собственник и владелец. Только собственник вправе распоряжаться своим имуществом, согласно ст. 209 ГК РФ. Поэтому, собственник вправе был продать автомобиль без вашего ведома.

Вы не собственник авто, следовательно никто Вам отвечать не будет, не принимайте во внимание рекомендации Калашникова, у Вас даже заявление не примут, так как Вы не собственник авто ст.209 ГК РФ.

Если Вы собственник транспортного средства либо были собственником транспортного средства, то вправе требовать ознакомления с документами и материалами, ограничивающими Ваши права и свободы (ч.2 ст.24 Конституции). Как минимум если Вы собственник, то за авто платите налог, если он на учете на Вас. Если уже нет, что следует из вопроса: из-за незаконного отчуждения, то вправе знать, на каком законном основании было отчуждено транспортное средство от Вашего имени. И запрос такой нужно будет делать не по паспортным данным, а лично предъявив паспорт текущего или бывшего собственника транспортного средства.

А вот если оно отчуждено на незаконном основании (поддельный ДКП, договор дарения и т.п.), то это повод для заявления о преступлении в полицию в порядке, предусмотренном ст.141-145 УПК РФ.