Как доказать, что мой сын находится на моем иждивении пенсионному фонду?

Здравствуйте. Отказ незаконен. Поскольку Вы уже получали доплату на иждивенца. То есть, в данной ситуации надо было лишь предоставлять справку об обучении. А вот если бы он поступил после достижения 18 лет, то тогда - да, надо было бы доказывать иждивение.

Вообще, не имели права отказать в принятии справки. Только справка должна быть установленного образца - в ВУЗе скажите, что для ПФР - они знают. Печать ВУЗа должна быть обязательно гербовой (а не треугольной, или "ОК"), и обязательно указывается номер приказа о зачислении, дата этого приказа, и нормативный срок обучения - до какого времени он должен учиться. Все эти разъяснения есть на сайтах ПФР.

Обращайтесь в ПФР снова, причем, если не примут "специалисты" - идите к начальнику отдела. Если у Вас и там не примут справку, то пишите сами заявление на имя руководителя районного отдела ПФР о приобщении справки об обучении для продления выплаты на иждивенца, прикладывайте эту справку и отправляйте ценным письмом с описью вложения в адрес ПФР. Обязаны будут принять и рассмотреть вопрос. Вот такой отказ, если он последует, можно будет обжаловать в обычном судебном порядке - ст. 131-132 ГПК РФ (не в рамках КАС РФ). Поскольку имеет место спор о праве.

Всего Вам самого доброго и удачного разрешения проблем.