Может ли организация осуществлять закупки без применения 44-ФЗ и 223-ФЗ при наличии собственного Положения о закупках?

Не обязательно о 223-ФЗ. Если это коммерческая организация, то у нее может быть просто какой-то локальный акт на этот счет. В этом случае виновные за нарушения несут ответственность в рамках трудового законодательства (ст. 192-193 ТК РФ)

Организация, не связанная с бюджетами, сама определяет свою политику в сфере закупок для своих нужд.

Федеральный закон от 18.07.2011 N 223-ФЗ "О закупках товаров, работ, услуг отдельными видами юридических лиц" в ст. 1 определяет перечень случаев, когда этот закон применим.

Настоящий Федеральный закон устанавливает общие принципы закупки товаров, работ, услуг и основные требования к закупке товаров, работ, услуг:

1) государственными корпорациями, государственными компаниями, публично-правовыми компаниями, субъектами естественных монополий, организациями, осуществляющими регулируемые виды деятельности в сфере электроснабжения, газоснабжения, теплоснабжения, водоснабжения, водоотведения, очистки сточных вод, обработки, утилизации, обезвреживания и захоронения твердых коммунальных отходов, автономными учреждениями, а также хозяйственными обществами, в уставном капитале которых доля участия Российской Федерации, субъекта Российской Федерации, муниципального образования в совокупности превышает пятьдесят процентов;

(в ред. Федеральных законов от 29.12.2014 N 458-ФЗ, от 03.07.2016 N 236-ФЗ, от 03.07.2016 N 321-ФЗ)

2) дочерними хозяйственными обществами, в уставном капитале которых более пятидесяти процентов долей в совокупности принадлежит указанным в пункте 1 настоящей части юридическим лицам;

3) дочерними хозяйственными обществами, в уставном капитале которых более пятидесяти процентов долей в совокупности принадлежит указанным в пункте 2 настоящей части дочерним хозяйственным обществам;

4) бюджетным учреждением при наличии правового акта, утвержденного в соответствии с частью 3 статьи 2 настоящего Федерального закона и размещенного до начала года в единой информационной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд в соответствии с частью 1 статьи 4 настоящего Федерального закона, при осуществлении им закупок:

а) за счет грантов, передаваемых безвозмездно и безвозвратно гражданами и юридическими лицами, в том числе иностранными гражданами и иностранными юридическими лицами, а также международными организациями, субсидий (грантов), предоставляемых на конкурсной основе из соответствующих бюджетов бюджетной системы Российской Федерации, если условиями, определенными грантодателями, не установлено иное;

б) в качестве исполнителя по контракту в случае привлечения на основании договора в ходе исполнения данного контракта иных лиц для поставки товара, выполнения работы или оказания услуги, необходимых для исполнения предусмотренных контрактом обязательств данного учреждения;

в) за счет средств, полученных при осуществлении им иной приносящей доход деятельности от физических лиц, юридических лиц, в том числе в рамках предусмотренных его учредительным документом основных видов деятельности (за исключением средств, полученных на оказание и оплату медицинской помощи по обязательному медицинскому страхованию);

(п. 4 введен Федеральным законом от 28.12.2013 N 396-ФЗ)

5) государственными унитарными предприятиями, муниципальными унитарными предприятиями при наличии правового акта, утвержденного в соответствии с частью 3 статьи 2 настоящего Федерального закона и размещенного до начала года в единой информационной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд в соответствии с частью 1 статьи 4 настоящего Федерального закона, при осуществлении ими закупок:

а) за счет грантов, передаваемых безвозмездно и безвозвратно гражданами и юридическими лицами, в том числе иностранными гражданами и иностранными юридическими лицами, а также международными организациями, субсидий (грантов), предоставляемых на конкурсной основе из соответствующих бюджетов бюджетной системы Российской Федерации, если условиями, определенными грантодателями, не установлено иное;

б) в качестве исполнителя по контракту в случае привлечения на основании договора в ходе исполнения данного контракта иных лиц для поставки товара, выполнения работы или оказания услуги, необходимых для исполнения предусмотренных контрактом обязательств данного предприятия, за исключением случаев исполнения предприятием контракта, заключенного в соответствии с пунктом 2 части 1 статьи 93 Федерального закона от 5 апреля 2013 года N 44-ФЗ "О контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд";

(п. 5 введен Федеральным законом от 03.07.2016 N 321-ФЗ)

6) федеральными государственными унитарными предприятиями, имеющими существенное значение для обеспечения прав и законных интересов граждан Российской Федерации, обороноспособности и безопасности государства, перечень которых утверждается Правительством Российской Федерации по согласованию с Администрацией Президента Российской Федерации.

Вы правы - одного Положения мало.

Нужно смотреть случаи, указанные в законе.