Ребёнку оставляют двойку после повторных тестирований, не показывая задания - правомерность действий директора

Неправомерно. Если зачтено 3 из 5 заданий, но это удовлетворительная оценка, но никак не основание для того, чтобы отказывать в аттестации. Имеет смысл подать жалобу в Управление образованием и районную прокуратуру в соответствии со ст.10 Федерального закона от 17 января 1992 г. N 2202-I "О прокуратуре Российской Федерации":

1. В органах прокуратуры в соответствии с их полномочиями разрешаются заявления, жалобы и иные обращения, содержащие сведения о нарушении законов. Решение, принятое прокурором, не препятствует обращению лица за защитой своих прав в суд. Решение по жалобе на приговор, решение, определение и постановление суда может быть обжаловано только вышестоящему прокурору.

2. Поступающие в органы прокуратуры заявления и жалобы, иные обращения рассматриваются в порядке и сроки, которые установлены федеральным законодательством.

3. Ответ на заявление, жалобу и иное обращение должен быть мотивированным. Если в удовлетворении заявления или жалобы отказано, заявителю должны быть разъяснены порядок обжалования принятого решения, а также право обращения в суд, если таковое предусмотрено законом.

4. Прокурор в установленном законом порядке принимает меры по привлечению к ответственности лиц, совершивших правонарушения.

5. Запрещается пересылка жалобы в орган или должностному лицу, решения либо действия которых обжалуются.

Неправомерно. И откзывать не должны родителям. Это противоречит ФЗ "Об образовании в РФ". Родителям следует обращаться с жалобой в прокуратуру (ст. 10 ФЗ О прокуратуре РФ)