Имеет ли срок давности задолженность по алиментам? И как взыскивать после исполнения ребенку 18 лет?

Судя по всему, что Вы общаетесь с приставами, можно сделать вывод о том, что размер алиментов уже установлен судом и возбуждено исполнительное производство. Приставы вводят вас в заблуждение, так как размер алиментов уже установлен судом и расчет задолженности они должны делать самостоятельно и повторно взыскивать алименты нет никакой необходимости, следовательно и срок исковой давности здесь не при чем.

Семейный кодекс Статья 113. Определение задолженности по алиментам

3. Размер задолженности определяется судебным исполнителем исходя из размера алиментов, определенного решением суда или соглашением об уплате алиментов.

Трехлетний срок может быть применен к неустойке за неуплату алиментов и то по заявлению стороны в споре.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 26.12.2017 N 56 "О применении судами законодательства при рассмотрении дел, связанных со взысканием алиментов"

65. Исходя из положений статьи 4 СК РФ и статьи 208 ГК РФ суд может по заявлению стороны в споре применить исковую давность и отказать в удовлетворении иска (полностью или в части) о взыскании неустойки по мотиву пропуска срока исковой давности, исчисляемого отдельно по каждому просроченному месячному платежу (статьи 196 и 199 ГК РФ).

Если есть задолженность по уплате алиментов, берите у пристава расчет задолженности (помесячно) и можно будет взыскать неустойку и убытки (если они были) в судебном порядке по этим основаниям:

Семейный кодекс ст.115.

2. При образовании задолженности по вине лица, обязанного уплачивать алименты по решению суда, виновное лицо уплачивает получателю алиментов неустойку в размере одной десятой процента от суммы невыплаченных алиментов за каждый день просрочки.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2008 N 106-ФЗ, от 29.07.2018 N 224-ФЗ)

Размер неустойки за несвоевременную уплату алиментов может быть уменьшен судом с учетом материального и (или) семейного положения лица, обязанного уплачивать алименты, если подлежащая уплате неустойка явно несоразмерна последствиям нарушения обязательства по уплате алиментов.

(абзац введен Федеральным законом от 29.07.2018 N 224-ФЗ)

Получатель алиментов вправе также взыскать с виновного в несвоевременной уплате алиментов лица, обязанного уплачивать алименты, все причиненные просрочкой исполнения алиментных обязательств убытки в части, не покрытой неустойкой.