Могу ли я встать в центр занятости по прописке и перевестись в другой город?!

Теоретически можете, но откажут в перевод, отказ придется обжаловать через суд и прочеею

Постановление Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. N 891 "О порядке регистрации граждан в целях поиска подходящей работы, регистрации безработных граждан и требованиях к подбору подходящей работы" (с изменениями и дополнениями)

Постановление Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. N 891

"О порядке регистрации граждан в целях поиска подходящей работы, регистрации безработных граждан и требованиях к подбору подходящей работы"

7. Трудоспособным гражданам, за исключением граждан, предусмотренных пунктом 8 настоящих Правил, обратившимся в органы службы занятости по месту жительства, не имеющим работы и заработка, ищущим работу и готовым приступить к ней, при постановке на регистрационный учет государственные учреждения службы занятости населения устанавливают дату посещения для подбора подходящей работы в срок, не превышающий 11 дней со дня предъявления следующих документов:

а) паспорт или документ, его заменяющий;

б) трудовая книжка или документ, ее заменяющий;

Постановлением Правительства РФ от 6 марта 2015 г. N 201 подпункт "в" изложен в новой редакции

См. текст подпункта в предыдущей редакции

в) документы об образовании, документы об образовании и о квалификации, документы о квалификации, документы об обучении, документы об ученых степенях и ученых званиях;

г) справка о среднем заработке за последние 3 месяца по последнему месту работы;

См. рекомендуемую форму справки о среднем заработке за последние три месяца по последнему месту работы, направленную письмом Минтруда России от 15 августа 2016 г. N 16-5/В-421

д) для граждан, относящихся к категории инвалидов, - индивидуальная программа реабилитации.