Вопрос: может ли он в судебном порядке оспорить завещание, с целью претендовать на часть квартиры.

Завещание, как и любая односторонняя сделка, может быть оспорено в суде и признано недействительным. Но не по любым причинам, а только при наличии оснований, предусмотренных законом.

Статья 1051 ГК содержит требования, которым должно соответствовать нотариально удостоверенное завещание.

Нотариально удостоверенное завещание должно быть написано завещателем либо записано нотариусом со слов завещателя в присутствии свидетеля. При записи завещания со слов завещателя нотариусом могут быть использованы общепринятые технические средства (пишущая машинка, персональный компьютер и т.д.). Завещание, записанное нотариусом со слов завещателя, должно быть полностью прочитано завещателем в присутствии нотариуса и свидетеля до подписания завещания. Если завещатель в силу физических недостатков, болезни или неграмотности не в состоянии лично прочитать завещание, его текст оглашается для него свидетелем в присутствии нотариуса, о чем в завещании делается соответствующая запись с указанием причин, по которым завещатель не смог лично прочитать завещание. В завещании должны быть указаны фамилия, имя и постоянное место жительства свидетеля. Такие же сведения должны быть включены в завещание в отношении лица, подписавшего завещание вместо завещателя. Завещания лиц, проживающих в населенных пунктах, где нет нотариуса, удостоверяются должностным лицом, уполномоченным законодательными актами на совершение нотариальных действий (должностным лицом местного исполнительного органа).

Если завещание составлено по закону, то вам бояться нечего. Ваши родственники могут обратиться в суд, но решение будет на вашей стороне