Возможно ли перерасчет долга за квартиру, исходя из срока исковой давности, начиная с 2013 года, и как это сделать?

Долги в 99 случаях из 100 взыскиваются через судебный приказ, глава 11 ГПК РФ.

Если в отношении вас будет исковое заявление подано, тогда уже должны будете заявлять о пропуске срока исковой давности. Платите долг по квитанциям за 3 года начиная с 2018 в сторону уменьшения, точно не ошибётесь, т.е. 2015, а 2013-2014 года можете игнорировать. Пени и долг не платите, а оплачиваете текущие платежи по квитанции, которые и будут зачислены именно за оплаченный месяц и год.

Однако поставщик услуг вправе приостановить вам предоставление услуг за долги так, что всё равно вам решать как и за что вы будете оплачивать.