Как установить отцовство без записи в официальных документах?

Это делается в судебном порядке, доказать отцовство можно не только проведением ДНК экспертизой.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 16.05.2017 N 16 (ред. от 26.12.2017) "О применении судами законодательства при рассмотрении дел, связанных с установлением происхождения детей"

19. В соответствии со статьей 49 СК РФ при установлении отцовства суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица. Такие доказательства могут быть получены из объяснений сторон и третьих лиц, показаний свидетелей, письменных и вещественных доказательств, аудио-и видеозаписей, заключений экспертов (абзац второй части 1 статьи 55 ГПК РФ).

При разрешении дел, связанных с установлением материнства, суд также вправе принять во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от данной женщины (пункт 4 статьи 14, пункт 2 статьи 21 Федерального закона от 15 ноября 1997 года N 143-ФЗ). В этих целях суду следует, в частности, исследовать медицинские документы, свидетельствующие о факте рождения ребенка, медицинскую документацию о происхождении ребенка от конкретной женщины (историю родов), объяснения лиц, участвующих в деле, показания свидетелей, в том числе лиц, присутствовавших при родах (при рождении ребенка вне медицинской организации), заключения экспертов.

20. Для разъяснения вопросов, связанных с происхождением ребенка, суд вправе с учетом мнения сторон и обстоятельств по делу назначить экспертизу, в том числе и молекулярно-генетическую, позволяющую установить отцовство (материнство) с высокой степенью точности.

Вместе с тем судам следует учитывать, что заключение эксперта (экспертов) по вопросу о происхождении ребенка является одним из доказательств, оно не имеет для суда заранее установленной силы и подлежит оценке в совокупности с другими имеющимися в деле доказательствами (часть 2 статьи 67, часть 3 статьи 86 ГПК РФ).