Нужно ли разрешение отца на выезд ребёнка за границу, если отец официально отказался от ребёнка?

Здравствуйте. Отказаться от ребенка не возможно. Этого просто не предусмотрено законодательством РФ. Только лишение род. прав.

На выезд из РФ согласия отца если ребенок едет с мамой не нужно.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 11.10.2018) "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию" (с изм. и доп., вступ. В силу с 27.01.2019)

Статья 20.

Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.