Может ли гражданин РФ ездить по России по доверенности ДНР от гражданина Украины на машине с украинскими номерами.

Может, если сам ввез авто и является декларантом. В России для предъявления сотрудникам ГИБДД вообще не нужно показывать доверенность. Она отсутствует в пункте 2.2 Правил дорожного движения Российской Федерации (утв. постановлением Совета Министров - Правительства РФ от 23 октября 1993 г. N 1090):

Водитель механического транспортного средства, участвующий в международном дорожном движении, обязан:

иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им для проверки регистрационные документы на данное транспортное средство (при наличии прицепа - и на прицеп) и водительское удостоверение, соответствующие Конвенции о дорожном движении, а также документы, предусмотренные таможенным законодательством Евразийского экономического союза, с отметками таможенных органов, подтверждающими временный ввоз данного транспортного средства (при наличии прицепа - и прицепа);

иметь на данном транспортном средстве (при наличии прицепа - и на прицепе) регистрационные и отличительные знаки государства, в котором оно зарегистрировано. Отличительные знаки государства могут помещаться на регистрационных знаках.

Водитель, осуществляющий международную автомобильную перевозку, обязан останавливаться по требованию уполномоченных должностных лиц Федеральной службы по надзору в сфере транспорта в специально обозначенных дорожным знаком 7.14 контрольных пунктах и предъявлять для проверки транспортное средство, а также разрешения и другие документы, предусмотренные международными договорами Российской Федерации.

Если же гражданин РФ не сам декларант, а ввез кто-то другой, то ездить ни по какой доверенности не может. В режиме временного ввоза (ст.219, 222, 264 Таможенного кодекса Евразийского экономического союза (приложение N 1 к Договору о Таможенном кодексе Евразийского экономического союза от 11 апреля 2017 г.) пользоваться может только декларант!