«Административный арест на 10 суток, но госпитализировали в больницу - сколько дней уже прошло?»

Нет, если не напишите заявление, о прекращении наказания в виде адм. ареста., по состоянию здоровья.

Федеральный закон от 26.04.2013 N 67-ФЗ (ред. от 03.07.2016) "О порядке отбывания административного ареста"

Статья 17. Прекращение и приостановление отбывания административного ареста

1. По истечении срока отбывания административного ареста, установленного постановлением судьи, лица, подвергнутые административному аресту, незамедлительно освобождаются из места отбывания административного ареста.

2. Лицам, срок отбывания административного ареста которых истекает после двадцати трех часов, разрешается по их письменному заявлению оставаться в месте отбывания административного ареста до шести часов следующих суток.

3. На основании письменного заявления лица, подвергнутого административному аресту, в случае возникновения исключительных личных обстоятельств (тяжелого заболевания (состояния здоровья), смерти близкого родственника или близкого лица либо чрезвычайной ситуации, причинившей значительный материальный ущерб лицу, подвергнутому административному аресту, или его семье), а также на основании медицинского заключения о наличии у лица, подвергнутого административному аресту, заболевания, травмы или увечья, препятствующих отбыванию административного ареста, исполнение постановления об административном аресте может быть приостановлено или прекращено в порядке, предусмотренном Кодексом Российской Федерации об административных правонарушениях. Перечень заболеваний, препятствующих отбыванию административного ареста, устанавливается Правительством Российской Федерации.

4. При прекращении отбывания административного ареста лицам, которые были подвергнуты административному аресту, выдается справка по форме, установленной федеральным органом исполнительной власти в сфере внутренних дел.