Как подать в суд на директора магазина за задолженности по зарплате и отпускным при отсутствии договора о материальной ответственности и трудового договора?

Можете, только не на директора, а к компании в суд обратиться.

Заработная плата выплачивается не реже чем каждые полмесяца в день, установленный правилами внутреннего трудового распорядка, коллективным договором, трудовым договором. (ч. 6 ст. 136 ТК РФ)

При прекращении трудового договора выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя, производится в день увольнения работника. Если работник в день увольнения не работал, то соответствующие суммы должны быть выплачены не позднее следующего дня после предъявления уволенным работником требования о расчете.

В случае спора о размерах сумм, причитающихся работнику при увольнении, работодатель обязан в указанный в настоящей статье срок выплатить не оспариваемую им сумму. (ст. 140 ТК РФ)

А также можете взыскать и компенсацию за лишение возможности трудиться (в связи с невыдачей трудовой книжки), просить суд обязать выдать книжку.

Обратитесь к одному из ответивших Вам юристов за помощью в этом.

Остерегайтесь навязчивых звонков неустановленных лиц с настойчивыми приглашениями на якобы "бесплатные консультации юристов". Ничего бесплатного там нет, кроме озвучивания завышенных цен, и, скорее всего, юристов на этих "консультациях" Вы тоже не увидите