Проблемы с восстановлением паспорта - как поступить в сложной ситуации?

Да, это возможно. Временное удостоверение обязаны продлить.

Приказ МВД России от 13.11.2017 N 851 "Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по выдаче, замене паспортов гражданина Российской Федерации, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации"

183. В случае убытия гражданина до получения паспорта к новому месту жительства (пребывания) в другой субъект Российской Федерации, по его заявлению, составленному в произвольной форме и поданному в подразделение по вопросам миграции по новому месту жительства (пребывания), в течение 3 рабочих дней направляется соответствующий запрос в подразделение по вопросам миграции, оформившее новый паспорт. Оформленный паспорт в течение 3 рабочих дней подразделением по вопросам миграции, оформившим данный паспорт, направляется в подразделение по вопросам миграции территориального органа МВД России на региональном уровне по новому месту жительства (пребывания) специальной почтой или фельдъегерской связью для вручения его владельцу.

183.1. Паспорт в подразделение по вопросам миграции по новому месту жительства (пребывания) направляется вместе с заявлением о выдаче (замене) паспорта. Копия заявления до получения оригинала заявления о выдаче (замене) паспорта подразделением по вопросам миграции, оформившим паспорт, ставится на контроль.

183.2. Подписанное гражданином заявление о выдаче (замене) паспорта в течение 3 рабочих дней подразделением по вопросам миграции по новому месту жительства (пребывания) возвращается специальной почтой или фельдъегерской связью в подразделение по вопросам миграции территориального органа МВД России на региональном уровне для направления в подразделение по вопросам миграции, оформившее паспорт.