Хочу заключить с двоюродным братом (нуждается в уходе) договор наследования.

У вас есть такое право. ГК РФ Статья 1140.1. Наследственный договор

1. Наследодатель вправе заключить с любым из лиц, которые могут призываться к наследованию (статья 1116), договор, условия которого определяют круг наследников и порядок перехода прав на имущество наследодателя после его смерти к пережившим наследодателя сторонам договора или к пережившим третьим лицам, которые могут призываться к наследованию (наследственный договор). Наследственный договор может также содержать условие о душеприказчике и возлагать на участвующих в наследственном договоре лиц, которые могут призываться к наследованию, обязанность совершить какие-либо не противоречащие закону действия имущественного или неимущественного характера, в том числе исполнить завещательные отказы или завещательные возложения.

2. После смерти наследодателя требовать исполнения обязанностей, установленных наследственным договором, могут наследники, душеприказчик, пережившие наследодателя стороны наследственного договора или пережившие третьи лица, а также нотариус, который ведет наследственное дело, в период исполнения им своих обязанностей по охране наследственного имущества и управлению таким имуществом до выдачи свидетельства о праве на наследство.