Или граждане сами должны обращаться с этими вопросами в прокуратуру или в квалификационную коллегию?

Если вопрос о совершении преступления, по порядок рассмотрения регулируется УПК РФ. В частности, ст. 140 предусмотрено, что поводом и основанием для возбуждения дела является заявление, иные сообщения, явка с повинной. Не устанавливается круг лиц, которые могут подавать такие заявления или от кого исходят сообщения. Это может быть любое лицо, в том числе председатель суда.

Если же Вы имеете в виду, что это должно послужить основанием для привлечения судьи к дисциплинарной ответственности, то только председатель соответствующего или вышестоящего суда может выходить с таким представлением в квалификационную коллегию. Но по тексту акта предполагается, что такое действие может произойти именно по заявлению гражданина с сообщением о нарушении.

Положение о квалификационных коллегиях судей

(утв. Высшей квалификационной коллегией судей РФ 15 июля 2002 г.)

" Статья 4. Особенности рассмотрения представлений и обращений о досрочном прекращении полномочий судей, о досрочном прекращении полномочий председателя, заместителя председателя суда

Полномочия судьи могут быть досрочно прекращены в связи с привлечением его к дисциплинарной ответственности только на основании представления председателя соответствующего или вышестоящего суда либо обращения органа судейского сообщества, в котором содержится просьба о прекращении полномочий судьи, при наличии в представленных материалах доказательств, подтверждающих совершение судьей дисциплинарного проступка.

Жалобы и сообщения, содержащие сведения о совершении судьей дисциплинарного проступка, в случае принятия решения об их проверке квалификационной коллегией судей вместе с результатами проверки доводятся до сведения председателя соответствующего или вышестоящего суда и соответствующего совета судей для принятия ими решения о внесении представления или обращения в квалификационную коллегию судей о необходимости прекращения полномочий судьи в связи с совершением им дисциплинарного проступка или об отказе в этом.

Жалобы и сообщения, не содержащие сведения о совершении судьей дисциплинарного проступка, в том числе поданные в связи с несогласием с принятыми судебными актами, возвращаются заявителю без рассмотрения на основании письменного сообщения председателя квалификационной коллегии судей или члена коллегии по его поручению".