Можно ли получить жилье в Москве без прописки?

Нет. не правы. Потому что вы имеете право подать заявление, согласно ст. 49-51 ЖК РФ и его должны рассмотреть.

Жалуйтесь в прокуратуру.

Встать в очередь можете.

Если у Вас регистрация в Москве и нет своего жилья, Вы инвалид - тогда можете обратиться по поводу постановки на учет. Ст.49, 51 ЖК РФ.Обращаетесь в этом случае в администрацию или МФЦ.

Отказать в приеме заявления вообще не имеют права.

Если Вам незаконно отказывают в приеме заявления или постановке на учет - подавайте заявление в суд. ст.218, 219 КАС РФ. Также это повод обратиться в прокуратуру, которая в Ваших интересах может сама подать иск, а также внести представление.

Федеральный закон от 24.11.1995 N 181-ФЗ (ред. от 18.07.2019) "О социальной защите инвалидов в Российской Федерации"

Статья 17. Обеспечение инвалидов жильем.

Сотрудник МФЦ не прав в том, что отказывается принимать Ваше заявление. У сотрудника МФЦ есть обязанность принять заявление и передать его на рассмотрение соответствующего государственного органа для вынесения по нему решения.

Согласно ст. 27 Закона г. Москвы от 27.01.2010 г. "О жилищной политике в г. Москве" жилые помещения жилищного фонда города Москвы по договорам социального найма, найма, безвозмездного пользования, а также иные виды помощи города Москвы в приобретении или строительстве жилых помещений предоставляются в установленном порядке гражданам, проживающим по месту жительства на законных основаниях в городе Москве в общей сложности не менее 10 лет.

Согласно ст. 2 Закона РФ "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации" от 25.06.1993 N 5242-1 место жительства -жилой дом, квартира, комната, жилое помещение специализированного жилищного фонда либо иное жилое помещение, в которых гражданин постоянно или преимущественно проживает в качестве собственника, по договору найма (поднайма), договору найма специализированного жилого помещения либо на иных основаниях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, и в которых он зарегистрирован по месту жительства.

Место жительства гражданина подтверждается регистрацией по месту жительства. Если регистрации у Вас нет, то Вам будет отказано в постановке на жилищный учет.