Можно ли получать пособие по безработице и работать по договору подряда?

Нельзя работать по договору подряда. Если узнают - придется возвращать пособие. Ст.1102 ГК РФ. Ни по трудовому договору, ни по гражданскому нельзя работать.

Нет, нельзя. Пенсионный Фонд легко это может отследить, и тогда выплата пособия прекратится, и Вас снимут с учета.

Дело в том, что даже по гражданско-правовому договору заказчик обязан уплачивать за вас страховые взносы в ПФР, поэтому это сразу станет известно Центру Занятости.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 02.12.2019) "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 3. Порядок и условия признания граждан безработными

1. Безработными признаются трудоспособные граждане, которые не имеют работы и заработка, зарегистрированы в органах службы занятости в целях поиска подходящей работы, ищут работу и готовы приступить к ней. При этом в качестве заработка не учитываются выплаты выходного пособия и сохраняемого среднего заработка гражданам, уволенным в связи с ликвидацией организации либо прекращением деятельности индивидуальным предпринимателем, сокращением численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя.

Если это разовый договор подряда, то лучше оформить на каго то другого, если это такой договор подряда, который, например, перезаключается каждый месяц, то это легко признают трудовыми отношениями и лишат пособия и взыщут все, что выплатили. Если стороны заключили гражданско-правовой договор, но в ходе судебного разбирательства было установлено, что этот договор фактически регулирует трудовые отношения, к этим отношениям в силу ч. 4 ст. 11 ТК РФ следует применять положения ТК РФ и иных актов, касающихся трудового права.