Подскажите пожалуйста, нужно ли оформлять разрешение от отца, на выезд.

Нет, не нужно.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ

"О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей.

В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.

Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.

Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается уполномоченным федеральным органом исполнительной власти.

Так что можно спокойно ехать с ребенком в Болгарию, согласие папы не требуется. Здесь правило наоборот, если папа не согласен на выезд ребенка, то он подает заявление в орган пограничного контроля. Если такого заявления нет, то и препятствий для пересечения границы мамы с ребенком тоже нет.