Как получить запись телефонного разговора без участия правоохранительных органов через оператора?

Нет, такая возможность не существует.

Как указано в ст. 64 ФЗ «О связи» /quote/

1. Операторы связи обязаны хранить на территории Российской Федерации: 2) текстовые сообщения пользователей услугами связи, голосовую информацию, изображения, звуки, видео-, иные сообщения пользователей услугами связи — до шести месяцев с момента окончания их приема, передачи, доставки и (или) обработки./quote/ При этом указанного рода информация предполагается к получению субъектами ОРД /quote/1.1. Операторы связи обязаны предоставлять уполномоченным государственным органам, осуществляющим оперативно-розыскную деятельность или обеспечение безопасности Российской Федерации, указанную информацию, информацию о пользователях услугами связи и об оказанных им услугах связи и иную информацию, необходимую для выполнения возложенных на эти органы задач, в случаях, установленных федеральными законами./qoute/ При этом в данной статье суд не называется как субъект получения такого рода информации.

Гипотетически возможно обратиться в суд, в рамках рассмотрения иска, с ходатайством об истребовании доказательств — аудиозаписи разговора. Но тут есть свои нюансы — во-первых, речь идет о рассмотрении спора, во-вторых, при заявлении ходатайство необходимо обозначить доказательство, а также указано, какие обстоятельства, имеющие значение для правильного рассмотрения и разрешения дела, могут быть подтверждены или опровергнуты этим доказательством, указаны причины, препятствующие получению доказательства, и место нахождения доказательства.