Как решить проблему с выездом ребенка за границу без разрешения бывшего супруга?

Можно решить. Обратитесь в суд и лишите отца родительских прав.

Елена, можно подать иск в суд о взыскании с него алиментов одновременно с заявлением требований о лишении родительских прав.

Такие дела в практике были.

Согласно

ст.ст. 69-71 СК РФ, родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

Уклонение родителей от выполнения своих обязанностей по воспитанию детей может выражаться в отсутствии заботы об их здоровье, о физическом, психическом, духовном и нравственном развитии, обучении.

(п.п. 16-18 Постановление Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 14 ноября 2017 г. N 44 г. Москва "О практике применения судами законодательства при разрешении споров, связанных с защитой прав и законных интересов ребенка при непосредственной угрозе его жизни или здоровью, а также при ограничении или лишении родительских прав")

Обратитесь к одному из ответивших Вам юристов за грамотным ведением дела в суде.

Ответ "Вы можете обратиться в суд" предполагает необходимость грамотного обращения в суд: составления иска в соответствии с нормами ст.ст. 131-132 ГПК РФ, по нужным в Вашей ситуации правовым основаниям, доказывания своей позиции (ст.ст. 55-57 ГПК РФ) и т.д.