Нужен ли больничный лист в случае получения пособия на бирже труда при травме?

Нужен. Пособие по безработице - продолжат платить.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 24.04.2020) "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 28. Гарантии социальной поддержки безработных

1. Государство гарантирует безработным:

выплату пособия по безработице, в том числе в период временной нетрудоспособности безработного;