Почему не дали новую квартиру в социальный найм и что сделать, чтобы переделать договор?

Эту квартиру - и не могли дать в социальный найм, у нее иной статус пользования (коммерческий найм). А вот относительно получения социального найма - зависит все от местного законодательства, теоретически - вполне можно.

Федеральный закон от 29.12.2004 N 189-ФЗ (ред. от 25.05.2020) "О введении в действие Жилищного кодекса Российской Федерации"

Статья 6

1. С 1 марта 2005 года принятие на учет граждан в целях последующего предоставления им по договорам социального найма жилых помещений в государственном или муниципальном жилищном фонде осуществляется по основаниям и в порядке, которые предусмотрены Жилищным кодексом Российской Федерации.

2. Граждане, принятые на учет до 1 марта 2005 года в целях последующего предоставления им жилых помещений по договорам социального найма, сохраняют право состоять на данном учете до получения ими жилых помещений по договорам социального найма. Указанные граждане снимаются с данного учета по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 3 - 6 части 1 статьи 56 Жилищного кодекса Российской Федерации, а также в случае утраты ими оснований, которые до введения в действие Жилищного кодекса Российской Федерации давали им право на получение жилых помещений по договорам социального найма. Указанным гражданам жилые помещения по договорам социального найма предоставляются в порядке, предусмотренном Жилищным кодексом Российской Федерации, с учетом положений настоящей части.

Так как у Вашей квартиры есть частный владелец, то переделать коммерческий найм на социальный не удастся.

Вы должны обратиться в уполномоченный муниципальный орган в соответствии со ст. Договор социального найма жилого помещения ЖК РФ с просьбой о заключении договора социального найма.

1. По договору социального найма жилого помещения одна сторона - собственник жилого помещения государственного жилищного фонда или муниципального жилищного фонда (действующие от его имени уполномоченный государственный орган или уполномоченный орган местного самоуправления) либо управомоченное им лицо (наймодатель) обязуется передать другой стороне - гражданину (нанимателю) жилое помещение во владение и в пользование для проживания в нем на условиях, установленных настоящим Кодексом.

2. Договор социального найма жилого помещения заключается без установления срока его действия.

При этом имейте ввиду, что такие квартиры как правило состоят в старом жилом фонде

Но мы хотели бы остаться в этой квартире по социальному найму. Неужели нельзя переделать с коммерческого на социальный, или только выкупать?

Может сходить на приём к губернатору?