Имеет ли право председатель районного суда, т.е. суда первой инстанции решать судьбу апелляционной жалобы при ее подаче?

Если он был в роли судьи при рассмотрении дела в первой инстанции.

См.

ГПК РФ Статья 325. Действия суда первой инстанции после получения апелляционных жалобы, представления

(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 353-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1. Суд первой инстанции после получения апелляционных жалобы, представления проверяет их на соответствие требованиям статей 321 и 322 настоящего Кодекса и разъясняет лицам, участвующим в деле, право представить возражения относительно них.

(часть 1 в ред. Федерального закона от 02.12.2019 N 406-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. Лица, участвующие в деле, вправе представить в суд первой инстанции возражения в письменной форме относительно апелляционных жалобы, представления с приложением документов, подтверждающих эти возражения и направление или вручение их копий другим лицам, участвующим в деле, и вправе ознакомиться с материалами дела, с поступившими жалобой, представлением и возражениями относительно них.

(часть 2 в ред. Федерального закона от 02.12.2019 N 406-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. По истечении срока обжалования суд первой инстанции направляет дело с апелляционными жалобой, представлением и поступившими возражениями относительно них в суд апелляционной инстанции.

До истечения срока обжалования дело не может быть направлено в суд апелляционной инстанции.

Роман, если председатель рассматривал дело и если речь идет о случае пропуска процессуального срока для подачи апелляционной жалобы, то да. Суд первой инстанции может отказать в восстановлении процессуального срока. Иных оснований не имеется.