Есть ли возможность проходить квалификационный экзамен для учителей физкультуры без педобразования и диплома?

Давайте уточним.

В соответствие с п.2 Порядка проведения аттестации педагогических работников

организаций, осуществляющих образовательную деятельность

(утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 7 апреля 2014 г. N 276) аттестация педагогических работников проводится в целях подтверждения соответствия педагогических работников занимаемым ими должностям на основе оценки их профессиональной деятельности и по желанию педагогических работников в целях установления квалификационной категории.

П. Аттестация педагогических работников в целях подтверждения соответствия педагогических работников занимаемым ими должностям проводится один раз в пять лет на основе оценки их профессиональной деятельности аттестационными комиссиями, самостоятельно формируемыми организациями (далее - аттестационная комиссия организации).

Исходя из условий, приведённых в вопросе, возможно следующее:

п.23. Аттестационные комиссии организаций дают рекомендации работодателю о возможности назначения на соответствующие должности педагогических работников лиц, не имеющих специальной подготовки или стажа работы, установленных в разделе "Требования к квалификации" раздела "Квалификационные характеристики должностей работников образования" Единого квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и служащих и (или) профессиональными стандартами, но обладающих достаточным практическим опытом и компетентностью, выполняющих качественно и в полном объеме возложенные на них должностные обязанности.