Как изменить сведения об отце в свидетельстве о рождении и могут ли не выплатить пособия за январь и февраль?

Нет, по этому пособию - можно подавать в течение 6 месяцев по достижении 1,5 лет.

Федеральный закон от 19.05.1995 N 81-ФЗ (ред. от 08.06.2020) "О государственных пособиях гражданам, имеющим детей"

Статья 17.2. Сроки назначения государственных пособий гражданам, имеющим детей

Пособие по беременности и родам, единовременное пособие женщинам, вставшим на учет в медицинских организациях в ранние сроки беременности, единовременное пособие при рождении ребенка, ежемесячное пособие по уходу за ребенком, а также единовременное пособие при передаче ребенка на воспитание в семью назначаются, если обращение за ними последовало не позднее шести месяцев соответственно со дня окончания отпуска по беременности и родам, со дня рождения ребенка, со дня достижения ребенком возраста полутора лет, со дня вступления в законную силу решения суда об усыновлении, или со дня вынесения органом опеки и попечительства решения об установлении опеки (попечительства), или со дня заключения договора о передаче ребенка на воспитание в приемную семью, а единовременное пособие беременной жене военнослужащего, проходящего военную службу по призыву, и ежемесячное пособие на ребенка военнослужащего, проходящего военную службу по призыву, - не позднее шести месяцев со дня окончания военнослужащим военной службы по призыву.

При этом ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается за весь период, в течение которого лицо, осуществляющее уход за ребенком, имело право на выплату указанного пособия, в размере, предусмотренном законодательством Российской Федерации на соответствующий период.