Может ли военнослужащий по контракту отказаться проходить лечение в военном госпитале и лечиться в частной больнице?

Да, может, но тогда больничный оплачен не будет в частной клинике.

Нет, не может, нет у него подобного права.

Может, при нижеуказанных условиях

Федеральный закон от 27.05.1998 N 76-ФЗ

(ред. от 08.12.2020)

"О статусе военнослужащих"

Статья 16. Право на охрану здоровья и медицинскую помощь

2. При отсутствии по месту военной службы или месту жительства военнослужащих либо по месту прохождения военных сборов гражданами, призванными на военные сборы, военно-медицинских организаций и (или) при отсутствии в них отделений соответствующего профиля, специалистов или специального медицинского оборудования, а также в экстренных или неотложных случаях военнослужащие и граждане, призванные на военные сборы, имеют право на получение медицинской помощи, прохождение медицинских осмотров, диспансеризации в медицинских организациях государственной системы здравоохранения и муниципальной системы здравоохранения.

Расходы, связанные с оказанием медицинской помощи военнослужащим и гражданам, призванным на военные сборы, прохождением ими медицинских осмотров, диспансеризации в медицинских организациях государственной системы здравоохранения и муниципальной системы здравоохранения, возмещаются в порядке, установленном Правительством Российской Федерации, за счет средств федерального бюджета, предусмотренных на эти цели федеральным органам исполнительной власти или федеральным государственным органам, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба.

Постановление Правительства РФ от 31.12.2004 N 911

(ред. от 18.02.2020)

"О порядке оказания медицинской помощи, санаторно-курортного обеспечения и осуществления отдельных выплат некоторым категориям военнослужащих, сотрудников правоохранительных органов и членам их семей, а также отдельным категориям граждан, уволенных с военной службы"

(вместе с "Правилами оказания медицинской помощи (медицинского обеспечения) военнослужащим войск национальной гвардии Российской Федерации, сотрудникам федеральной противопожарной службы Государственной противопожарной службы, уголовно-исполнительной системы, лицам, проходящим службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации и имеющим специальные звания полиции, лицам начальствующего состава органов федеральной фельдъегерской связи, гражданам Российской Федерации, уволенным с военной службы из войск национальной гвардии Российской Федерации и внутренних войск, со службы в войсках национальной гвардии Российской Федерации, федеральной противопожарной службе Государственной противопожарной службы, уголовно-исполнительной системе, органах федеральной фельдъегерской связи, а также лицам, уволенным со службы в федеральных органах налоговой полиции", "Правилами оказания медицинской помощи (медицинского обеспечения) членам семей отдельных категорий военнослужащих, сотрудников федеральной противопожарной службы Государственной противопожарной службы, уголовно-исполнительной системы, таможенных органов Российской Федерации, лиц, проходящих службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации и имеющих специальные звания полиции, лиц начальствующего состава органов федеральной фельдъегерской связи, членам семей отдельных категорий граждан Российской Федерации, уволенных с военной службы, со службы в войсках национальной гвардии Российской Федерации, в федеральной противопожарной службе Государственной противопожарной службы, уголовно-исполнительной системе, таможенных органах Российской Федерации, органах федеральной фельдъегерской связи, а также лиц, уволенных со службы в федеральных органах налоговой полиции", "Правилами возмещения медицинским организациям государственной и муниципальной систем здравоохранения расходов на оказание медицинской помощи военнослужащим, гражданам, призванным на военные сборы, сотрудникам федеральной противопожарной службы Государственной противопожарной службы, уголовно-исполнительной системы, таможенных органов Российской Федерации, лицам, проходящим службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации и имеющим специальные звания полиции, и лицам начальствующего состава органов федеральной фельдъегерской связи, а также отдельным категориям граждан, уволенных с военной службы", "Правилами предоставления путевок на санаторно-курортное лечение гражданам Российской Федерации, уволенным с военной службы из войск национальной гвардии Российской Федерации и внутренних войск, со службы в войсках национальной гвардии Российской Федерации, органах федеральной фельдъегерской связи, и лицам, уволенным со службы в федеральных органах налоговой полиции", "Правилами осуществления выплаты на проведение оздоровительного отдыха детей военнослужащих, лиц, проходящих службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации и имеющих специальные звания полиции, и сотрудников некоторых федеральных органов исполнительной власти, ставших инвалидами вследствие военной травмы, погибших (умерших), пропавших без вести при исполнении обязанностей военной службы (служебных обязанностей) по контракту")

(с изм. и доп., вступ. В силу с 01.07.2020)

Только в экстренных случаях, а так же при отсутствии возможности проходит лечение в военных госпиталях. Второй вариант крайне маловероятен.