Может ли наследник, просящий лечение в завещании, претендовать на наследство?

Нет, не выиграет. Статьей 1119 гк РФ установлена свобода завещания.

Шансов оспорить наследство, если оно было написано в здравом уме к сожалению практически нет.

ГК РФ Статья 1130. Отмена и изменение завещания

1. Завещатель вправе отменить или изменить составленное им завещание в любое время после его совершения, не указывая при этом причины его отмены или изменения.

Для отмены или изменения завещания не требуется чье-либо согласие, в том числе лиц, назначенных наследниками в отменяемом или изменяемом завещании.

2. Завещатель вправе посредством нового завещания отменить прежнее завещание в целом либо изменить его посредством отмены или изменения отдельных содержащихся в нем завещательных распоряжений.

Последующее завещание, не содержащее прямых указаний об отмене прежнего завещания или отдельных содержащихся в нем завещательных распоряжений, отменяет это прежнее завещание полностью или в части, в которой оно противоречит последующему завещанию.

Завещание, отмененное полностью или частично последующим завещанием, не восстанавливается, если последующее завещание отменено завещателем полностью или в соответствующей части.

3. В случае недействительности последующего завещания наследование осуществляется в соответствии с прежним завещанием.

4. Завещание может быть отменено также посредством распоряжения о его отмене. Распоряжение об отмене завещания должно быть совершено в форме, установленной настоящим Кодексом для совершения завещания. К распоряжению об отмене завещания соответственно применяются правила пункта 3 настоящей статьи.

5. Завещанием, совершенным в чрезвычайных обстоятельствах (статья 1129), может быть отменено или изменено только такое же завещание.

6. Завещательным распоряжением в банке (статья 1128) может быть отменено или изменено только завещательное распоряжение правами на денежные средства в соответствующем банке.

Он как наследник претендует, а завещание сказали оспаривается.

Если он с ней не проживает и она хочет выписать его.